Overview Level of Folio 122 r


SizeHeight 265 mm, width 198 mm.
CommentsWritten by Galileo; contains texts, drawings, table, calculation. Relation to the Discorsi: incomplete draft of 3/13-pr-06; draft of 3/12-pr-05.
Folio 122 r (final text)
1A Ex datis amplitudinibus semiparabolarum in praecedenti tabula digestis, retenctoque [retentoque] communi impetu quo unaquaeque describitur, singularum semiparabolarum altitudines elicere.
1BSit amplitudo data bc; impetus vero qui semper idem ob, hoc est aggregatum altitudinis et sublimitatis: reperienda est ac distinguenda ipsamet altitudo. Id autem consequemur, cum bo ita divisa fuerit, ut bi, dimidia amplitudinis, media fuerit inter partes ipsius ob. Factum iam sit, et cadat punctus divisionis in f. Sitque eadem bo bifariam secta in d. Est igitur [quadratum] ib aequale [rectangul]o bfo; [quadratum] vero do aequatur eidem [rectangul]o cum [quadrato] fd. Si igitur ex [quadrat]o do auferatur [quadratum] bi, quod [rectangul]o bfd [bfo] est aequale, remanebit [quadratum] fd, cuius latus df additum lineae bd dabit altitudinem bf quaesitam. Ex datis itaque intentum assequimur. Operatio itaque talis erit.
1CEx [quadrato] dimidiae bo datae aufer [quadratum] bi notae; residui accipe radicem, quae erit fd; hanc adde notae db, et habebis altitudinem bf quaesitam.
2AScritta
2BSemiparabolarum proiectorum ab eodem impetu iuxta quascumque elevationes, per singulos gradus supra et infra 45, amplitudines calculo colligere, et in tabulas exigere.
2CConstat ex praedemonstratis, parabolarum impetus esse aequales, cum illarum sublimitates, cum altitudinibus iunctae, aequales conficiunt perpendiculares supra orizontem: inter easdem ergo parallelas orizontales hae perpendiculares compraehendi debent. Ponatur itaque orizontali cb perpendicularis ba aequalis, et connectatur ac. Erit acb angulus gr[adus] 45, nempe semirectus; divisaque perpendiculari ba bifariam in d, semiparabola dc erit, quae a sublimitate ad cum altitudine db designatur, et quantitas impetus eius in c eadem erit atque impetus in b venientis mobilis ex quiete in a per lineam ab. Et si ducatur ag aequidistans bc, reliquarum omnium semiparabolarum quarum impetus idem futurus sit cum modo explicato, altitudines cum sublimitatibus iunctae spatium inter parallelas ag, bc explere debent. Insuper, cum iam demonstratum sit, semiparabolarum quarum tangentes aequaliter, sive supra sive infra, ab elevatione semirecta distant, amplitudines aequales esse, calculus quem pro maioribus elevationibus compilabimus, pro minoribus quoque deserviet. Elegimus praeterea numerum 10000, decemmillia, partium pro maxima amplitudine proiectionis ad elevationem gr[adus] 45. Tanta itaque supponatur esse linea ba et amplitudo semiparabolae bc. . Iam, ad opus accedentes, ducatur ce, angulum ecb angulo acb maiorem compraehendens, sitque semiparabola designanda, quae a linea ec tangatur, et cuius sublimitas cum altitudine ipsam ba adaequet.
2DEx tabula tangentium, per angulum datum bce tangens ipsa be accipiatur, et bifariam dividatur in f; deinde ipsarum bf et bi (dimidia[e] bc) tertia reperiatur proportionalis, quae necessario maior erit quam fa, cum bf maior sit quam db. Id constat: quia [rectangulum] sub fb et [tertia]a proportionalis ipsarum fb, bd aequale est [quadrat]o mediae db; at [rectangulum] sub bf, fa minus est [quadrat]o bd: deficit enim per [quadratum] fd. Sit igitur illa fo. Semiparabolae igitur in [tri]ang[ul]o ecb inscriptae iuxta tangentem ec, cuius cb est amplitudo, bf altitudo, sublimitas est fo. Verum tota bo supra parallelas extenditur: nos autem operae pretium habemus, talem eandem ex altitudine et sublimitate compositam ipsi ba aequari; sic enim tum ipsa, tum semiparabola dc a proiectis ex c impetu eodem describentur. Reperienda igitur est altera semiparabola huic similis (innumerae enim iuxta elevationem anguli bce, maiores et minores, designare possunt, quae omnes inter se similes erunt), cuius composita sublimitas cum altitudine, omologa scilicet ipsi bc, aequetur ba. Fiat igitur ut ob ad ba, ita amplitudo bc ad cr, et inventa erit cr, quaesita amplitudo scilicet semiparabolae iuxta elevazionem [elevationem] anguli bce designatam, cuius sublimitas cum altitudine iuncta intra spazium [spatium] a parallelis ga, cb contenctum [contentum] habetur: quod quaerebatur.
2EOperatio igitur [tal]is erit: Anguli dati bce tangens reperiatur be, cuius medietati apponatur [terti]a proportionalis ipsius et medietatis bc, quae sit fo; dein fiat ut ob ad ba, ita bc ad aliam, quae sit cr, amplitudo nempe quaesita. Exemplum apponamus. Sit angulus ecb gr[adus] 55; eius tangens 11918, cuius dimidium, nempe bf, 5959; dimidia bc 2500; harum dimidiarum [terti]a proportionalis 4195, quae addita ipsi bf, nempe 5959, dat 10154 pro ipsa bo. Fiat rursus ut ob ad ba, nempe ut 10154 ad 10000, ita bc, nempe 10000 (utraque enim gra[dus] 45 est tangens), ad aliam, et habebimus amplitudinem rc quaesitam 9848, qualium bc 10000. Harum autem [du]pl[a]e sunt integrae amplitudines integrarum parabolarum, scilicet 19696 et 20000. Tantaque est amplitudo parabolae proiecti iuxta elevationem gr[adus] 35, cum aequaliter distent a gr[adus] 45.
C01(50 * 50) : 52
50 * 50 = 2500
2500 : 52 = 48
C02ab 100
bi 50
fb 52
fa 48
C03fb 12
bd 8 bi
r[ation]e 96


Overview Level of Folio 122 r