Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, Italia

Evangelista Torricelli

3.2 Quadratura dello spazio cicloidale

 

La storia della curva cicloide non é facile da riassumere in poche linee. La sua invenzione risalirebbe all'inizio del XVII secolo, secondo quanto afferma Carlo Dati nella Lettera a Filaleti di Timauro Antiate. Della vera storia della cicloide, e della famosissima esperienza dell'argento vivo, pubblicata a Firenze nel 1662. Galileo, sempre secondo Dati, avrebbe studiato questa curva, di cui egli stesso per primo avrebbe avuto l'idea, intorno agli anni 1600. Questa priorità è confermata, come vedremo, dallo stesso Galileo: la scoperta si situerebbe nell'ultimo decennio del XVI secolo.
Dati cita uno scritto di Stefano Degli Angeli del 1661, De superficie ungulae, nel quale l'autore attribuisce a Galileo il merito d'aver immaginato e studiato per primo questa curva particolare e a Torricelli quello di aver calcolato per primo il valore esatto della superficie compresa fra un arco completo di cicloide e la retta fissa. Degli Angeli fonda la sua asserzione su una lettera (di cui egli possiede copia) inviata da Bonaventura Cavalieri a a Galileo il 14 febbraio 1640. Mi sono stati mandati da parigi - scrive Cavalieri - due quesiti da quei matematici circa dei quali temo di farmi poco onore. Fra i quesiti, alcuni concerno appunto la cicloide. Era stato Jean François Niceron a sottometerglieli, in occasione di un soggiorno in Italia. La risposta di Galileo, del 24 febbraio dello stesso anno, chiarisce alcuni punti: Dei quesiti mandatigli di Francia - spiega Galileo - non so che sia stato dimostrato alcuno. Gli ho con lei per difficili molto a essere sciolti. Questa linea arcuata (i.e. la cicloide, N.d.R. ) sono più di 50 anni che mi venne in mente di descriverla [...] per adattarla agli archi di un ponte [...]. Parvemi da principio che lo spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive, ma non fu così, benchè la differenza non sia molta [...] Ebbi circa un anno fa una scrittura di un padre Mersenno dei Minimi di San Francesco di Paola mandatami da Parigi, ma scrittami in caratteri tali che tutta l'Accademia di Firenze non ne potesse intender tanto che se ne potesse trar costrutto alcuno [...] io risposi all'amico che me la mandò che facesse intendere al detto padre che mi scrivesse in caratteri più intelligibili.

Dati critica violentemente il contenuto di una pubblicazione (dovuta a Blaise Pascal N.d.R.) apparsa in Francia nell'ottobre del 1658, l'Histoire de la Roulette, appelée autrement la Trochoide ou la Cycloide, in cui si sostiene che il padre Marin Mersenne sia stato il primo ad immaginare, verso il 1615, la curva cicloide en considérant le roulement des roues. Dopo aver chiesto la soluzione a Galileo, Mersenne si sarebbe rivolto a Gilles Personnier de Roberval nel 1634 e questi avrebbe dimostrato che l'espace cycloidal est 3pr 2. Secondo l'autore dell'Histoire, Roberval avrebbe chiesto a Marsenne di scrivere a tutti i matematici per dir loro che la soluzione era stata trovata (da Roberval), senza tuttavia comunicarla. Più tardi, nel 1635, Mersenne avrebbe inviato la soluzione di Roberval a diversi matematici, chiedendo loro di dimostrarla. Le due sole risposte ricevute, fra di loro diverse, sarebbero state quelle di Pierre de Fermat e di René Descartes. Nel 1638, sempre secondo l'autore dell'Histoire, Jean de Beaugrand avrebbe inviato a Galileo quel che egli sapeva della soluzione, facendo in modo da apparire egli stesso come l'autore delle cose dette. Dopo la morte di Galileo, avvenuta nel gennaio del 1642, Torricelli avrebbe ritrovato, nelle carte lasciate dal Maestro, la soluzione inviata da Beaugrand nel 1638. Questa asserzione contrasta con quanto indicato da Galileo nella lettera del 24 febbraio 1640 citata.
Da sottolineare, infine, che il 23 aprile 1643 Cavalieri scrive a Torricelli e si congratula con lui per la soluzione trovata. Finalmente ho sentito - scrive Cavalieri - nell'ultima sua la misura dello spazio cicloidale con molta mia maraviglia, essendo stato sempre stimato problema di molta difficoltà, che straccò già il Galileo; ed io pure, parendomi assai difficile lo lasciai andare; ond'ella avrà non poca lode di questo, oltre le tante sue maravigliose invenzioni, che le daranno eterna fama. Non resterò poi di dirle intorno a questo, che il Galileo mi scrisse una volta d'averci applicato 40 anni fa, e che non aveva potuto trovar niente; e che s'era persuaso che il detto spazio fosse triplo del circolo suo genitore, ma che poi li pareva che non fosse precisamente, se mal non ricordo, poiché per quanto abbi cercato nelle mie scritture, non ho mai potuto tal lettera ritrovare.

Torricelli fu, senza alcun dubbio, il primo ad aver pubblicato a Firenze nel 1644 la soluzione del problema (in Opera Geometrica, «De dimensione Parabolae, solidique Hyperbolici problemata duo...», p. 85-90). Tre dimostrazioni si trovano in appendice al capitolo indicato, attraverso le quali dimostreremo - scrive Torricelli - con l'aiuto di Dio che [lo spazio cicloidale] é triplo [del cerchio generatore]. La prima e la terza dimostrazione sono condotte con il metodo degli indivisibili, la seconda alla maniera degli antichi, per doppia riduzione all'assurdo. [Torricelli, Opere, a cura di G. Loria e G. Vassura, Faenza 1919, I (1), p. 174; tr. it. a cura di L. Belloni, Torino, UTET, 1975, p. 423]

[in Torricelli,Opere, a cura di G. Loria e G. Vassura, Faenza 1919, I (1), pp. 163-169).

Torricelli indica innanzi tutto i primi tentativi empirici per misurare gli "spazi materiali" (spatijs figurarum materialibus) delimitati dalla curva cicloidale, e quindi il metodo per costruire la curva stessa.

Diamo qui di seguito il testo italiano del preambolo torricelliano nella traduzione di L. Belloni (cfr. Torricelli, Opere, Torino, UTET,1975, pp. 410-412).

APPENDICE SULLA MISURA DELLA CICLOIDE

Mi piace qui aggiungere, come appendice, la soluzione di un problema interessante che, a prima vista, sembra difficilissimo se se ne considera l'argomento e l'enunciazione. Esso tormentò e sfuggì, molti anni or sono, ai primi matematici del nostro secolo. Infatti, la dimostrazione invano cercata sfuggì dalle loro mani a causa della fallacia dell'esperienza. Appesi infatti ad una libra, costruita a mano, gli spazi materiali delle figure, non sò per quale destino, quella proporzione che in realtà  é tripla, risultò sempre meno che tripla. Avvenne allora che, sospettando trattarsi di grandezze incommesurabili (come credo io) piuttosto che disperando della soluzione, la ricerca intrapesa venne da quei matematici abbandonata.

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Si facciano le seguenti supposizioni. Si immagini su una retta fissa AB, il circolo AC, tangente alla retta AB nel punto A. E si fissi il punto A, sulla periferia del circolo. Allora si immagini di far ruotare il circolo AC sulla retta fissa AB, con moto insieme circolare e progressivo verso B, ed in modo che, negli istanti sucessivi, tocchi sempre la linea retta AB con un suo punto, finché il punto fissato di nuovo non torni al contatto con la linea, ad esempio in B. È certo che il punto A, fisso sulla periferia del circolo rotante AC, descriverà qualche linea, dapprima ascendente a partire dalla linea sottostante AB, poi culminante verso D, e, in ultimo, prona e discendente verso il punto B.
Tale linea é stata chiamata cicloide dai nostri predecessori, sopratutto da Galileo già 45 anni orsono. La retta AB é stata chiamata base della cicloide, ed il circolo AC, il generatore della cicloide.
Discende dalla natura della cicloide la proprietà che la sua base AB sia eguale alla periferia del circolo generatore AC. E questo poi non é così oscuro. Infatti tutta la periferia AC, nella sua rotazione, si é commisurata con la retta fissa AB.
Si chiede ora che proporzione ha lo spazio cicloidale ADB al suo circolo generatore AC. Dimostreremo (e ne siano rese grazie a Dio) che é triplo. Le dimostrazioni saranno tre, e del tutto diverse fra loro. La prima e la terza procederanno con la nuova geometria degli indivisibili, che a noi piace molto. Metre la seconda procederà con la duplice posizione, secondo il metodo degli antichi, onde soddisfare i fautori di entrambi i metodi. Del resto, io dico questo: quasi tutti i principi coi quali si dimostra qualcosa nella geometria degli indivisibili, si possono ridurre alla solita dimostrazione indiretta degli antichi. Ciò è stato da noi fatto, come in molti altri casi, anche nel primo e nel terzo dei seguenti teoremi. Tuttavia per non abusare troppo della pazienza del lettore, abbiamo ritenuto di tralasciare molte dimostrazioni e di darne soltanto tre.

Ci limitiamo a dare, sempre nella traduzione di Belloni ( cfr ibidem, pp. 412-413), la prima dimostrazione fatta col metodo degli indivisibili.

Teorema I

Lo spazio compreso fra la cicloide e la sua retta di base é triplo del circolo generatore. Ovvero é sesquialtero (Sesquialtero = 1+1/2 N.d.R.) del triangolo, avente la sua stessa base ed altezza.

Sia data la cicloide ABC, descritta dal punto C del circolo CDEF quando ruota sulla base fissa AF. Consideriamo la semicicloide ed il semicircolo soltanto per evitare troppa confusione nella figura. Dico che lo spazio ABCF é triplo del semicircolo CDEF. Ovvero sesquialtero del triangolo ACF.
Si prendano due punti, H ed I, sul diametro CF, egualmente distanti dal centro G. Tracciate HB, IL e CM parallele a FA, passino per i punti B ed L i semicircoli OBP e MLN, eguali a CDF, tangenti alla base nei punti P ed N.

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È chiaro che le rette HD, IE, XB e QL sono eguali per la proposizione 14 del libro III. Saranno eguali anche gli archi OB e LN. Analogamente, essendo eguali CH e IF, saranno eguali CR e UA, per le proprietà delle rette parallele. Tutta la periferia MLN, per la definizione stessa della cicloide, é eguale alla retta AF. Analogamente, l'arco LN é uguale alla retta AN per la medesima ragione, poiché l'arco LN si distenderà sulla retta AN. L'arco restante LM sarà dunque eguale alla retta restante NF. Per la medesima ragione, l'arco BP sarà eguale alla retta AP, e l'arco BO alla retta PF.
Ora la retta AN é uguale all'arco LN, ovvero all'arco BO, ovvero alla retta PF. Quindi, per le proprietà delle parallele, saranno eguali AT e SC. Ora poiché erano eguali anche CR e AU, le rimanenti UT e SR saranno eguali. Perciò, nei triangoli equiangoli UTQ e RSX, saranno eguali i lati omologhi UQ e XR.
È chiaro, pertanto, che le due rette LU e BR, insieme prese, saranno eguali alle due rette LQ e BX, cioé alle EI e DH. E questo sarà sempre vero, ovunque si prendano i due punti H ed I, purché siano egualmente distanti dal centro. Tutte le linee della figura A L B C A saranno dunque eguali a tutte le linee del semicircolo CDEF. Perciò la figura bilineare ALBCA sarà eguale al semicircolo CDEF.
Ma il triangolo ACF è duplo del semicircolo CDEF. Infatti, il triangolo ACF è reciproco del triangolo della proposizione I di Archimede della misura del circolo, essendo il lato AF eguale alla semiperiferia, ed il lato FC eguale al diametro. Di qui segue che il triangolo ACF é uguale all'intero circolo di diametro CF. Dunque, componendo, l'intero spazio cicloidale [ALBCFA] sarà sesquialtero del triangolo inscritto ACF, e triplo del semicircolo CDEF. E questo ecc.

 


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