Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, Italia

 Evangelista Torricelli

3.1 Cubatura dell'iperboloide di rivoluzione
(Solido iperbolico acuto)
Il metodo geometrico degli indivisibili sviluppato da Torricelli presenta una importante innovazione rispetto al metodo di Cavalieri. Il nostro metodo [...] - spiega Torricelli - procederà con gli indivisibili curvi senza seguir l'esempio di alcun predecessore [...] [Torricelli, Opere, a cura di G. Loria e G. Vassura, Faenza 1919, I (1), p. 174; tr. it. a cura di L. Belloni, Torino, UTET, 1975, p. 423]
Questa innovazione viene utilizzata da Torricelli per la dimostrazione del teorema relativo al solido iperbolico acuto, che gli permette di stabilire l'equivalenza fra il solido infinitamente lungo generato da una iperbole rotante intorno al proprio asse, ed un cilindro di altezza finita. [ibidem, I (1), pp. 193-194; tr. it. pp. 444-45].
La dimostrazione riposa su 5 lemmi:

fig. 1
Primo lemma
Data una iperbole i cui asintoti siano AB, AC, e fatta girare la figura intorno all'asse AB, si ottiene il solido acuto iperbolico infinitamente lungo verso B (fig. 1). Si considera poi, all'interno del solido così definito, un rettangolo passante per AB, ad esempio il rettangolo DEFG. Sia AH il semiasse dell'iperbole.
Il quadrato costruito su AH ha la stessa area di qualunque  rettangolo DEFG, in virtù della definizione stessa dell'iperbole [ibidem, p. 191; tr. it. p. 442].

fig. 2
Secondo lemma
Si dimostra che tutti i cilindri inscritti nel solido acuto iperbolico intorno all'asse comune AB (fig. 2), sono isoperimetrici, (le loro superfici laterali sono uguali) [ibidem, pp. 191-192; tr. it. pp. 442-43].

Terzo lemma
Si dimostra che i volumi di tutti i cilindri isoperimetrici sopra descritti stanno fra di loro come i diametri delle loro basi [ibidem, p. 192; tr. it., p. 443].


fig. 3
Quarto lemma
Si dimostra che la superficie laterale del cilindro GIHL (fig. 3), è ¼ della superficie della sfera AEFC [ibidem, pp. 192-193; tr.it., p. 443-44].

Quinto lemma
Si dimostra che la superficie laterale di ogni cilindro GHIL inscritto nel solido acuto come nella precedente figura, è equivalente al cerchio di raggio DF [ibidem, p. 193; tr. it., p. 444].


fig. 4

 

Teorema
Si dimostra che il solido infinitamente lungo FEBDC costituito dal solido acuto iperbolico EBD e dal suo cilindro di base FEDC, è equivalente al cilindro ACGH di altezza AC (fig. 4) [ibidem, pp. 193-194; tr. it., pp. 444-45]

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fig. 5

Immagine tratta da L'Oeuvre de Torricelli: science galiléenne et nouvelle géométrie, publications de la faculté des lettres et sciences humaines de Nice, diff. Les Belles Lettres, Paris, 1987
Alcune osservazioni relative alla dimostrazione
Il segmento AC = PD = altezza del cilindro ACGH, risulta dal "taglio" dell'iperbole mediante un piano perpendicolare all'asse AB (fig.4).

La dimostrazione di Torricelli riposa sul "Quinto lemma": la superficie laterale di ogni "cilindro inscritto", come ad esempio GIHL, é uguale al "cerchio di raggio DF" (fig. 3). Questa conclusione é decisiva per "costruire" il cilindro ACGH (fig.5), che Torricelli considera come l'aggregato di un numero infinito di cerchi.

Nella figura 5, la superficie laterale del cilindro OILN é uguale al cerchio passante per il punto I. Questa conclusione é vera per qualunque cilindro inscritto, ad ognuno dei quali corrisponderà un cerchio (di raggio costante DF) passante per uno degli infiniti punti del segmento AC.


 

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